Resolución de problemas de matemáticas: aspectos cognitivos y afectivos

La Resolución de Problemas ha sido considerada desde siempre como el foco en las matemáticas. Sin embargo, es a partir de la década de los 80, cuando se insiste en que la Resolución de Problemas debe ser el eje de la enseñanza de la matemática escolar. Muchas fueron las aportaciones desde esa época, que nos llevaron a asumir que la Resolución de problemas como tara compleja, ofrece una posibilidad para organizar la diversidad de niveles existentes en el aula, es un marco ideal para la construcción de aprendizajes significativos y fomenta el gusto por las matemáticas.

Enseñanza de las matemáticas, resolución de problemas y dominio afectivo

La resolución de problemas de matemáticas ha sido considerada en los últimos 30 años como una actividad importante en el aprendizaje de las matemáticas, incrementando su presencia en los currículos sugiriéndose que sea uno de los ejes principales de la actividad matemática y el soporte principal del aprendizaje matemático. De esta manera, debe considerarse como ehe vertebrador del contenido matemático, ya que pone de manifiesto la capacidad de análisis, comprensión, razonamiento y aplicación. Además, se propone como un contenido específico y aparece como una competencia básica que los alumnos deben adquirir.

Uno de los aspectos que actualmente se enfatiza y asume en relación a la educación matemática en los currículos es la influencia de la afectividad en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Y, en particular, en la resolución de problemas.

Formación inicial de los profesores de primaria, dominio afectivo y resolución de problemas

La investigación sobre el dominio afectivo se ha trasladado, también, al campo de la formación de profesores y de su desarrollo profesional, al considerar que los profesores en su actuación en el aula no pueden disociar ambos aspectos cuando se enfrenta a una actividad concreta y con alumnos de un nivel específico.

Influencia de las creencias

Se acepta que cuando los profesores en formación inicial acceden a los centros de formación traen como consecuencia de su estancia en la enseñanza obligatoria acepciones y creencias sobre las matemáticas y sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas derivadas de su propia experiencia escolar. Es decir, en su etapa como alumnos en primaria y secundaria, aprenden conocimiento de matemáticas y, además, adquieren una visión particular sobre su enseñanza y aprendizaje de sí mismo en relación con las matemáticas. A este respecto, la investigación diferencia entre creencias acerca de la matemática como objeto, y otras creencias sobre su enseñanza y aprendizaje y acerca de uno mismo como aprendiz relacionadas co el autoconcepto, la autoconfianza, expectativas de control, … que estarían relacionadas con el dominio afectivo.

Los profesores en formación de primaria tienden a ver las matemáticas como una disciplina autoritaria, y hacer matemáticas significa aplicar fórmulas memorizados de los ejercicios de los libros de texto.

Pero se asume que los estudiantes par maestro de primaria tienen una idea muy tradicional de los problemas de matemáticas que no coincide con las sugerencia de las actuales propuestas curriculares. Igualmente, hemos observado una contradicción entre su experiencia personal, que juzgan negativa y monótona, y su concepción de las matemáticas ligadas al razonamiento y rigor. Al mismo tiempo, estos maestros consideran la resolución de problemas matemáticos como un procedimiento mecánico y memorísitico, tienen escasos recursos para representar y analizar los problemas, no buscan distintas estrategias o métodos para su resolución y no hacen uso de las distintas indicaciones que se le sugieren para ello.

Además, estas creencias, son muy fuertes y resistentes a los cambios, y constituyen una especie de lente o filtro desde el que interpretan su propio proceso formativo y orientan sus experiencias y conductas docentes, limitando sus posibilidades de acción y comprensión. Las creencias conforman una perspectiva desde la cual cada persona se aproxima al mundo de las matemáticas y pueden determinar cómo se abordarán los problemas, los procedimientos que se utilizarán o se evitarán, y el tiempo y la intensidad que se pondrá en la tarea. Consecuentemente, estas creencias se han de tener en cuenta en la formación y, si fuese necesario, influir en el cambio de las mismas y en la generación de otras nuevas.

A este respecto, convendrá tener en cuenta que las creencias que más influyen en la motivación y el rendimiento de los alumnos son las percepciones de los alumnos sobre sí mismos en relación con las matemáticas. La autoconfianza en matemáticas es un importante indicador de la valoración positiva de los aprendizaje para estudiarlas, así como también de su participación activa y regulación en el proceso de aprendizaje. El alumnado que cree que las matemáticas son sólo para los que tienen talento matemático y que están basadas en procedimientos de solución infalible y mecánico, tienen menos confianza en la disposición y, la habilidad de querer aprender matemáticas, tienen un papel esencial para el alumnado de cara a sus logros matemáticos.

Influencias de las actitudes

Los que el alumno cree sobe las matemáticas influye en los sentimientos que afloran hacia la materia y le predispone a actuar de modo consecuente. Esto es, si un alumno posee una creencia negativa sobre las matemáticas o sobre su enseñanza, tenderá a mostrar sentimientos adversos hacia las tareas relacionadas con dicha materia, lo que le llevará a conductas de evitación o de rechazo de las mismas. Esta predisposición que determina las intenciones personales y que influyen en su comportamiento es lo que llamamos actitudes.

Podemos distinguir entre actitudes hacia las matemáticas y actitudes matemáticas. Las actitudes matemáticas, tienen un marcado componente cognitivo y se refieren a las capacidades cognitivas generales que son importantes en tareas matemáticas.

En las actitudes hacia las matemáticas predomina el componente afectivo y se manifiestan en el interés, la satisfacción o la curiosidad o bien en el rechazo, la negación, la frustración o la evitación de la tarea matemática. El interés y las actitudes positivas hacia la ciencia y las matemáticas disminuyen con la edad, especialmente durante la educación secundaria.

Influencia de las emociones

Las emociones aparecen como respuesta a un suceso, interno o externo, que tiene una carga de significado positiva o negativa para la persona. Así, al afrontar una tarea matemática surgen dificultades que, en ocasiones, llevan a la frustración de las expectativas personales, provocando la aparición de valoraciones de los alumnos que, en el caso de las matemáticas, son mayoritariamente negativas. A este respecto, diferentes autores coinciden en señalar que la ansiedad interacciona de forma negativa con los procesos cognitivos y motivacionales y, por tanto, en el rendimiento general del estudiante. Por lo tanto, la relación entre niveles de ansiedad hacia las matemáticas y las notas obtenidas por los alumnos al final del curso es alta e inversa. Esta correlación se mantiene al comparar los niveles de ansiedad y actitudes positivas hacia las matemáticas. La relación entre ansiedad y educación matemática se ha trasladado, asimismo, al niveles de los estudiantes para el maestro, donde ya hay una importante literatura.

Otros trabajos establecen relaciones entre ansiedad y autoconfianza. Así, los alumnos con más ansiedad matemática presentan menos confianza en sus habilidades matemáticas y como aprendices de matemáticas, lo que correlaciona ambos constructos de forma negativa. Otros autores señalan que las emociones pueden llevar al abandono, a la evitación de la tarea y a protegerse de alguna medida ante ellas.

De estas consideraciones se infiere que los estudiantes deben asumir la actividad matemática como un desafío. En particular, si controlan los niveles de ansiedad, su acción tendrá un efecto positivo sobre el aprendizaje.

En relación con la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se pueden indicar diferentes momentos en los que la relación entre emociones y procesos cognitivos se hace visible: los momentos de comprensión de la estructura de la actividad o de recuperación de la información cuando se propone una tarea matemática; los períodos para diseñar estrategias de solución de problemas, incluidos el recuerdo de fórmulas o procedimientos mecánicos; o los procesos de control y regulación del propio aprendizaje unido a una metodología sobre la enseñanza de las matemáticas que rechazan.

Por lo tanto, estudiar las creencias, actitudes y emociones de los estudiantes  para profesores, cuando  abordan la resolución de  problemas, parece pertinente. La falta de reflexión son restos aspectos es una de las causas por la que persisten en los estudiantes par profesores de primaria concepciones y actitudes inadecuadas. Y ello, a pesar de su paso por los centros de formación inicial, donde no reconceptualizan su papel como profesores de primaria.

Integración entre lo afectivo y lo cogntivo en los programas de formación inicial

La relación entre lo afectivo y lo cognitivo se ha trasladado, también, al estudio con profesores y, así, podemos encontrar investigaciones que analizan cómo la conducta de los profesores, sus creencias y actitudes acerca de sí mismos y hacia las matemáticas influyen en el comportamiento y en el rendimiento de sus alumnos y en las imágenes mentales que éstos van elaborando sobre sí mismos.

Las concepciones y valores de los profesores determinan la imagen de las matemáticas en clase, y condicionará el tipo de relación profesor-alumnos. Así, las concepciones influencian las actitudes y ambas influencias la conducta del profesor y el aprendizaje de los alumnos. Parece obvio que, consecuentemente, los factores afectivos se consideren en los programas de formación inicial de profesores dentro de un proceso de discusión y reflexión. Y, parece evidente la necesidad y el interés por estudiar los factores afectivos y emocionales en la formación matemática, ya que, como futuros docentes, sus creencias y emociones hacia las matemáticas influirán en el logro de sus alumnos así como en las creencias y actitudes de éstos hacia la misma.

 

¿Qué es el Trastorno Específico del Lenguaje (TEL)?

Características

El TEL es un trastorno que afecta principalmente a la adquisición y desarrollo del lenguaje oral y que se puede caracterizar por los diez siguientes atributos:

1. Específico: se califica como específico del lenguaje porque no hay evidencia de un déficit intelectual, trastorno emocional, lesión neurológica, déficit sensorial o un problema motor o sociofamiliar que pueda servir para explicar las dificultades del lenguaje de las personas afectadas.
2. Grave: no es un simple retraso en la adquisición del lenguaje. Los niños con TEL lo adquieren tarde, pero su desarrollo sigue luego un patrón distinto de lo habitual que complica su pronóstico y tratamiento.
3. Persistente: es un trastorno duradero que afecta a la adquisición del lenguaje desde sus inicios, se prolonga durante la infancia y la adolescencia, pudiendo dejar secuelas significativas en la edad adulta. Expresiones del tipo «ya hablará» sólo sirven para demorar el inicio de las terapias.
4. Heterogéneo: las características del TEL pueden variar mucho de un niño a otro. Puede afectar a uno, a varios o a todos los componentes del lenguaje (fonología, morfosintaxis, semántica y/o pragmática) y hacerlo además con distintos grados de severidad. Puede estar sólo afectada la expresión, pero lo normal es que lo esté también la comprensión.
5. Dinámico: el perfil de dificultades y habilidades de las personas afectadas evoluciona con el tiempo. Suelen superarse unos problemas y aparecer otros nuevos a medida que los niños avanzan en sus entornos sociales y escolares, por lo que es necesario evaluar continuamente sus problemas y ajustar la ayuda que reciben a sus necesidades concretas de cada momento.
6. Complejo: en el TEL el problema principal o «primario» está en el lenguaje oral, pero la mayoría de los afectados presenta problemas en más áreas del desarrollo. Los niños con TEL tiene más probabilidad de tener problemas sociales, emocionales o de conducta y grandes problemas para la adquisición de los aprendizaje.
7. Frecuente: los estudios ofrecen datos de prevalencia para el TEL que oscilan entre el 2% y el 7% de la población escolar, en función de una aplicación más o menos restrictiva de los criterios de inclusión diagnóstica. Pese a su elevada prevalencia, es un trastorno sanitario y educativo, por lo que los diagnósticos son inferiores a los casos reales.
8. Invisible: las personas con TEL pueden hablar, por lo que sus problemas no siempre van a resultar evidentes. El TEL provoca una discapacidad que suele ser reconocida por la Administración, por lo que el alumnado con TEL forma parte del colectivo de alumnos con necesidades educativas especiales (NEE).
9. De evaluación lenta: es un trastorno que evoluciona favorablemente, pero requiere tiempo y trabajo. Es fundamental una terapia logopédica precoz, intensiva y de larga duración, con total implicación de la familia y de la escuela. Alcanzar la normalidad social en la edad adulta dependerá de la gravedad del trastorno, de la ayuda recibida y de la inteligencia de los niños.
10. Genético: el TEL es un trastorno del neurodesarrollo que se transmite genéticamente. Diferentes estudios apuntan hacia una mayor probabilidad de desarrollar TEL en niños con antecedentes familiares de trastornos del lenguaje.

¿Afecta sólo al lenguaje oral?

El término «específico» se entiende también en el sentido de que en el TEL la única afectación está en la adquisición y desarrollo del lenguaje oral, lo que no suele ser cierto. De hecho, en la última versión del Manual diagnóstico y estadístico de lo trastornos mentales de la Asociación Americana de Psiquiatría (DSM-5), el TEL pierde el calificativo de específico.

Las personas con TEL suelen presentar problemas añadidos a los del lenguaje oral. Esos problemas pueden ser secundarios a su afectación principal en el lenguaje o pueden deberse a la presencia de trastornos comórbidos, como pueden ser los del aprendizaje (dislexia, disgrafía, disortografía y discalculia) o el RDA/TDAH.

Algunos problemas del alumnado con TEL no específicos del lenguaje oral:

• Los niños con TEL, específicamente aquellos que presentan mayor afectación fonológica, tienen muchas dificultades para la adquisición de la lectura y la escritura, lo que les dificulta enormemente la adquisición de los demás aprendizajes.
• Tienen muchas más dificultades atencionales, especialmente en actividades de gran carga verbal. Esas dificultades pueden ser secundarias de su problema principal de comprensión de lenguaje o pueden deberse a un TDA/H en comorbilidad.
• Suelen tener dificultades matemáticas, que se pueden deber a su incapacidad para entender los enunciados de los problemas, que a veces convierten un simple problema matemático en un ejercicio de comprensión lectora.
• Pueden aparecer comportamientos disruptivos. En edades tempranas son frecuentes las rabietas, debidas normalmente a la frustración que les genera no poder comunicarse eficazmente. Más adelante pueden aparecer comportamientos negativistas y desobediencia.
• Los alumnos con TEL tienen graves problemas de relación social. Por sus limitaciones en el lenguaje establecen menso contactos con sus compañeros y obtienen menos satisfacción cuando lo hacen, lo que entorpece su desarrollo social, tanto en el aula como en las interacciones libres que se dan en el patio u otros entornos (comedor, actividades extraescolares, etc.).

Evaluación de las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas

Cualquier intervención educativa debe ir precedida de un diagnóstico diferencial en el que se identifiquen las DAM. Tradicionalmente la evaluación examinaba variables como: el nivel de desarrollo del razonamiento (conservación, clasificación, seriación…), la realización de cálculos aritméticos (numeración y operaciones), los conceptos matemáticos que posee el alumno, su comprensión y expresión verbal y planteamiento de problemas y modo de resolverlos; y los elementos gnosos-práxicos, en lo tocante a la estructuración espacio.temporal y el dominio del espacio gráfico.

Sin negar la importancia de esos aspectos, el enfoque cognitivo se centra especialmente en los procesos de aprendizaje, es decir, en los conceptos, correctos o erróneos, que presenta el alumno y en las estrategias, adecuadas o no, que utiliza para afrontar las tareas. Desde este enfoque, la evaluación, para un diagnóstico eficaz, debe examinar tanto el conocimiento formal como el informal, ya que este último puede ser insuficiente y dificultar el acceso a las matemáticas. Debe detallar los puntos fuentes y débiles del alumno, la precisión y eficacia de las técnicas matemáticas básicas y su grado de automatización, las estrategias seguidas para llegar a una solución y los errores sistemáticos que comete, para tratar de conocer las insuficiencias de los conocimientos subyacentes.

Para cumplir las condiciones mínimas de un diagnóstico diferencial, existe una considerable variedad de instrumentos estandarizados que son muy útiles para identificar a los sujetos con DAM. La principal ventaja de estos instrumentos radica en la solidez de su construcción (en términos de fiabilidad y validez) y en su estandarización y baremación, que permite hacer comparaciones con grandes grupos de sujetos. En general, no se utilizan pruebas aisladas, sino que se aplican baterías de tests y pruebas específicas que permitan identificar los diferentes factores intervinientes. Con fines prácticos, a continuación, se presentan las pruebas agrupadas en dos tipos: pruebas psicológicas y pruebas pedagógicas.

Pruebas psicológicas

La finalidad de las pruebas psicológicas es identificar si el alumno presenta déficits aptitudinales específicos que algunos autores han encontrado que correlacionan con el rendimiento metemático. Uno de los estudios identifica, a través de la técnica LISREL de análisis estadístico, el efecto de la inteligencia general, la memoria, los hábitos de estudio, el autoconcepto académico, la comprensión lectora y la resolución de problemas.

Para identificar los procesos cognitivos y neuropsicológicos que intervienen en la realización de tareas matemáticas, se pueden utilizar diferentes tests disponibles en el mercado. Entre los tests que proporcionan datos de interés se encuentran los siguientes:

• Escalas de inteligencia de Weschler (WPPSI de los 6 años y medio a los 8 años y medio; WISC-R de 6 a 16 años; WAIS de 16 en adelante). Son las escalas más utilizadas en la evaluación psicopedagógica. Entre otras pruebas incluye una de aritmética y una de memoria auditiva inmediata (dígito). El perfil cognitivo de esta escala puede ser objeto de interpretación neurológica.
• Escalas McCarthy de aptitudes y psicomotricidad (MSCA, de los 2 años y media a los 8 años y medio). Incluye una escala numérica con tres subpruebas de interés: recuento y distribución, cálculo y memoria numérica.
• Tests de factor g (como el Factor g de Cattel y el de Matrices Progresivas de Raven, ambos de aplicación colectiva a partir de los 4 años). Proporcionan una medida de la inteligencia general, que puede tener cierta importancia en hipótesis explicativa sobre las dificultades de algunos alumnos.
• DAT. Es una batería de aptitudes diferenciales, de aplicación colectiva a partir de los 14 años. Evalúa algunos aspectos de la inteligencia general como: razonamiento abstracto, razonamiento verbal, aptitud numérica, rapidez y precisión perceptiva, razonamiento mecánico y relaciones espaciales.
• Test del desarrollo de la percepción visual de Frostig (3 a 7 años). Resulta relevante; principalmente para el diagnóstico de dificultades en Geometría, por las subpruebas que incluye: posición en el espacio, relaciones espaciales, constancia de la forma, coordinación visomotora y discriminación figura-fondo.
• Test gestáltico visomotor de Bender (4 años hasta adultos). Permite valorar la integración visomotora y las alteraciones neurológicas.
• Batería Luria-DNI. Es una prueba para evaluar los trastornos neuropsicológicos, con baremos para niños a partir de los 7 años. Entre otras muchas pruebas incluye una de aritmética con dos subtests: escritura numérica, ene l que se pide al niño escribir y leer números de izquierda a derecha y de arriba a abajo, así como decidir qué número de entre los varios que lee o escuecha es mayor; y operaciones aritméticas, en el cual el niño debe resolver sumas, restas y multiplicaciones, completar operaciones en las que falta un número o el signo y contar hacia atrás de tres en tres.
• Cuestiones de personalidad de Cattell (ESPQ, CPQ, HSPQ y 16PF) (de 6 años hasta adultos). Es importante conocer la personalidad del niño y su forma de reaccionar ya que ésta puede influir en el rendimiento académico.

Pruebas pedagógicas

Las pruebas pedagógicas específicas ayudan a determinar el grado de dominio de la diversidad de conceptos y procedimientos propios del ámbito matemáticos, tales como:

• Habilidad para comprender y usar los conceptos de cantidad, combinaciones, número, forma, tamaño, posición y medida.
• Habilidad para sumar, restar, multiplicar y dividir números naturales, enteros y fracciones.
• Habilidad para aplicar los conceptos matemáticos a la solución de problemas en situaciones personales y sociales (comprar y vender, calcular diferencias de tiempo, pesar y medir).
• Habilidad para clasificar y categorizar datos y hechos matemáticos.
• Adquisición de nociones e información específicamente matemática.

En principio, las pruebas pedagógicas no se diferencian de las pruebas más clásicas que puede realizar cualquier profesor, aunque suponen una mayor estandarización, que permite, en muchas ocasiones, comparar los resultados con los baremos disponibles para grandes muestras de población de una misma edad o nivel educativo. Algunos ejemplos son:

• Pruebas pedagógicas graduadas para preescolar y ciclo inicial (EAP de Terrasa). Lo forman multitud de ítems graduados para distintos niveles de Educación Infantil y primer ciclo de Primaria, similares a los que se encuentran los alumnos en la práctica educativa real. Incluyen ítems de lógica, cálculo y grafía de números, medida y geometría.
• Pruebas psicoopedagógicas de evaluación individual (motesinos et al). Incluyen tareas que permiten detectar la competencia del alumno en el conocimiento de las cantidades, operaciones, problemas y otros contenidos de Educación Infantil y Primaria.
• Prueba de cálculo y nivel matemático (A. Palomino y J. Crespo). Esta prueba detecta dificultades o errores en el aprendizaje del cálculo. Según sus niveles incluye la escritura y dictado de operaciones basta potencias y raíces.
• Prueba de aptitud y rendimiento matemático (R. Olea, L. E. Líbano y H. Ahumada). Se aplica de 7 a 12 años y consta de tres series:
  • Serie A: Nociones previas (conservación, seriación, previsión, clasificación e inclusión).
  • Serie B: Conocimiento de la simbolización matemática (dictado y lectura de números, concepto de valor, concepto de signos, conocimiento de figuras geométricas y conocimiento de cuerpos geométricos).
  • Serie C: Disposición para el cálculo y resolución de problemas (repartición y resta, resolución de problemas con elementos concretos, con dificultad en el enunciado y de problemas abstractos).

¿Qué dificultades se encuentran los alumnos en la resolución de un problema matemático?

¿Dónde se producen los fallos en la resolución de un problema? El conocimiento de las estrategias se considera crucial. Son muchos los alumnos que fracasan debido a que desconocen qué estrategias deben utilizarse, así como la existencia de estrategias para alcanzar la solución correcta. Pero, no solamente se produce fracaso por ésto último, sino que, también se producen dificultades por fallos en la traducción de frases del problema en una representación interna, especialmente si se trata de frases que expresan una relación cuantitativa entre las variables. Por ejemplo, «Sergio tiene nuevo cromos y Luis tiene seis, ¿cuántos cromos tiene Sergio más que Luis?» La expresión «cuántos más… que» resulta especialmente difícil. Lo mismo ocurre con los problemas que requieren de la conversión de escalas.

Se producen fallos también en la fase de utilización e integración de información dada por el enunciado del problema, por falta de esquemas que le permiten reconocer de qué tipo de problema se trata, y también por limitaciones de la memoria. Puede ocurrir también que el esquema empleado sea erróneo.

Las principales dificultades que se encuentran los niños en la resolución de problemas son las siguientes:

Dificultad en la representación inicial de los problemas

La representación inicial que se realiza de un problema se basa en el tipo de información a la que se presta atención, y esta información estará en función de las ideas o de los conocimientos previos y la experiencia que el niño tenga en la resolución de problemas similares.

Dificultad en el razonamiento

La adquisición de las reglas de inferencia adecuadas constituye un paso importante en el desarrollo de la capacidad de solución de problemas.

Conocimiento y memoria

¿Qué es lo que hace que los niños menores de 12 años encuentren difícil representarse de forma adecuada los problemas? Esto depende de dos factores:

• Los conocimientos del sujeto acerca de qué factores son los importantes para resolver. El conocimiento que tienen las personas acerca del problema es fundamental y determinantes.
• La memoria del sujeto. A corto y largo plazo.

Estilo atribucional

Las creencias que posee el sujeto acerca del problema determinan la actitud de afrontamiento del mismo. Si cree que el problema es fácil de resolver, probablemente pondrá pocos recursos para ello, si por el contrario, piensa que el problema es difícil, utilizará muchos recursos.

¿De qué dependen las expectativas de éxito en estos alumnos? Depende de los siguientes aspectos:

• Que el alumno se dé cuenta de que existen problemas que deben resolverse.
• Tener interés y motivación para resolverlos.
• Afronta la situación empleando las estrategias adecuadas.
• Razonar correctamente.

¿Qué se evalúa cuando hay problemas en el aprendizaje de las matemáticas?

La evaluación de las dificultades de aprendizaje de las matemáticas constituye una actividad amplia, debido a la propia amplitud de los contenidos matemáticos en los que se reflejan los errores. Con respecto al qué hay que evaluar, se propone realizar una evaluación inicial o preventiva de las capacidades que poseen los alumnos en los primeros momentos de la escolaridad (6-7 años) en lo referido a los procesos psicológicos básicos, como la memoria, la atención-percepción, razonamiento…; así como otros aspectos importantes como las destrezas que posean en la Orientación espacio-temporal, los Conceptos básicos…

El cómo evaluar las dificultades responde  la necesidad de disponer de unos instrumentos o pruebas que nos sean útiles. Los test nos ofrecen, en general, una valoración de dimensiones parciales de las matemáticas y orientadas a la obtención de resultados de forma de puntuaciones normativas de grupo. Para paliar estos inconvenientes evaluativos, y en armonización con los postulados de la actual Reforma Educativa, puede hacerse uso de un modelo de evaluación formativa que describa cuáles son las dificultades que manifiestan los alumnos en el aprendizaje de las matemáticas; analizando su naturaleza a través de un conjunto de indicadores-criterio en los siguientes aspectos:

• Nociones o conceptos básicos.
• Numeración.
• Cálculo operatario.
• Resolución de problemas.
• Contenidos topológicos y geométricos.
• Medidas.

Nociones o conceptos básicos

Conservación de la materia

• Criterios:
  • Apreciar la constancia de una cantidad a pesar de las modificaciones que se produzcan en su apariencia externa.
• Situaciones o reactivos:
  • Variar la forma que tiene un trozo de plastilina y preguntarle al alumno si ahora hay más plastilina que antes.
  • Trasvasar agua de un recipiente a otro que tenga distinta forma.
• Análisis de las dificultades:
  • Indicadores:
    • La percepción visual es defectuosa. Afirma que la cantidad ha variado al cambiar de forma. Solamente considera un elemento a la vez: lo ancho, lo alto…
    • No recuerda con exactitud.
    • La atención es dispersa.

Reversibilidad

• Criterios:
  • Comprender que una operación realizada puede efectuarse en sentido inverso.
  • Establecer relaciones entre operaciones contrarias. Ser capaz de volver al punto de partida (hacer-deshacer, todo-partes-todo, análisis-síntesis…).
• Situaciones o reactivos:
  • Asocia cada operación con su opuesta (4+3=7 –> 7-3=4).
• Análisis de las dificultades:
  • Indicadores:
    • Errores en la asociación, no identifica las relaciones contrarias.

Correspondencia

• Criterios:
  • Hacer corresponder (asociar) elementos y formar pares entre ellos.
  • Utilizar correctamente los conceptos básicos de: más que, menos que, igual que, tanto como, el mismo número…
• Situaciones o reactivos:
  • Une con flechas los conjuntos o grupos que tienen el mismo número de elementos.
• Análisis de las dificultades:
  • Indicadores:
    • Utilización incorrecta de alguno de los conceptos básicos.
    • Desconocimiento de uno o varios conceptos básicos.
    • Confusiones en el orden de las cosas.

Seriaciones

• Criterios:
  • Comparar y orden elementos de forma manipulativa, de forma gráfica y mentalmente.
  • Seriaciones dobles.
  • Seriaciones ascendentes.
  • Seriaciones descendentes.
  • Seriaciones con alternancia de elementos.
• Situaciones y reactivos:
  • Dibuja la figura que falta.
  • Completa los números que faltan en la serie.
  • Sigue las series.
• Análisis de las dificultades:
  • Indicadores:
    • Coloca los números con errores: omite, repite, calcula erróneamente, altera el orden, etc.
    • No percibe la razón o pauta que rige la serie.

Clasificación

• Criterios:
  • Establecer relaciones de igualdad de forma manipulativa, gráfica y de forma numérica.
  • Identificar y asociar de forma manipulativa y gráfica objetos iguales y diferentes.
  • Clasificar material según algunas cantidades dadas. Por ejemplo: color, forma, tamaño, etc.
• Situaciones o reactivos (de tipo gráfico):
  • Rodea con una línea todos los cuadrados pequeños.
  • Asocia las figuras que sean iguales.
• Análisis de las dificultades:
  • Indicadores:
    • Carencia de criterio clasificatorio.
    • Criterios erróneos:
      • Se basa en la posición espacial.
      • Se basa en una apreciación intuitiva.

Numeración

Indicadores de dificultad:

• Errores en el paso de una decena a otra.
• No existe asociación de número-objeto.
• Equivocaciones en la seriación ascendente o descendente de números.
• Incomprensión del valor posicional de las cifras: unidad, decena…
• Escritura de números invertida.
• Errores en el dictado de los números.
• Errores en la ubicación de los números.

Situaciones o reactivos:

• Unir cada grupo con su número correspondiente.
• Ordenar estos números de mayor a menor y forma a serie.
• Operaciones de resta para detectar el cambio de decena.
• Agrupar de 10 en 10 y formas decenas.
• Análisis de sus dictados de números.

Calculo operatorio

Indicadores de dificultad

• Comprensión del cálculo:
  • No d significado a las operaciones. Por ejemplo, suma en lugar de restar.
  • Se ayuda excesivamente con apoyos: dedos, palos, fichas…
• Errores en los algoritmos:
  • Fallos en los procesos computacionales de la suma, resta, multiplicación y división.
  • Errores de «llevada».
  • Inversión del orden de colocación del minuendo y sustraendo.
  • Colocar los resultados parciales intermedios.
  • Dificultades específicas en la multiplicación.
  • Equivocaciones en el valor posicional del cero (sumas y restas).
• Escritura y comprensión de los números:
  • Inversiónd e números.
  • Mezcla de suma y resta en una misma operación.
  • Comenzar las sumas y restas de izquierda a derecha.
  • Errores en el columnamiento u ordenación de las operaciones.
• Situaciones o reactivos:
  • Hacer las operaciones de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones propias del nivel de competencia curricular del alumno.

Resolución de problemas

Indicadores de dificultad

• Comprensión del texto:
  • Erres en la exactitud lectora: omisión de palabras, sustituciones fonéticas, adivinación, etc.
  • Incomprensión del texto o enunciado. Sólo atiende a aspectos parciales del mismo.
  • Vocabulario matemático desconocido.
• Análisis del problema:
  • No ordena los datos.
  • Organización defectuosa de los tiempos (acciones) que aparecen en el problema.
  • No sabe con exactitud qué quiere hallar o solucionar.
• Razonamiento lógico-matemático:
  • Confusión en operaciones (automatismos operacionales deficientes).

Situaciones o reactivos

Problemas cuyo nivel de dificultad sea propio del grado de competencia curricular de los alumnos. La mejor situación-reactivo para evaluar estas dificultades sería la verbalización de los pensamientos acerca de lo que procesan en su intento de resolver el problema. En la medida en que se produzcan verbalizaciones podremos detectar las estrategias que pone en práctica.

Aspectos geométricos

• Preámbulo

La aparición de dificultades en los aspectos geométricos está condicionada por el grado de conocimiento del Esquema Corporal, la Lateralidad y la Organización del Espacio, a partir de las coordinadas del propio cuerpo.

• Indicadores de dificultad:
  • No domina los conceptos de arriba-abajo, delante-detrás, derecha-izquierda en su propio cuerpo.
  • No domina los conceptos de arriba-abajo, delante-detrás, derecha-izquierda en el plano gráfico.
  • Problemas en la lateralidad (no definida).
  • No percibe los objetos en el espacio desde otras referencias o coordenadas.
  • Alteraciones en la simetría.
  • No distingue ni reconoce formas geométricas.
  • Reproducción inexacta y deficiente de las formas geométricas sencillas.
  • No percibe la modificación de formas.
• Situaciones o reactivos:
  • A través de instrucciones representar en el plano diferentes figuras geométricas.
  • Reproducir figuras geométricas sencillas imitando un modelo.
  • Completar figuras u objetos simétricos de carácter sencillo.
  • Representar espacios conocidos.
  • Juegos de simulación espacial.
  • Clasificar formas y cuerpos geométricos de acuerdo con unos criterios dados.

Medidas

• Preámbulo

El concepto de medida es un concepto avanzado y directamente asociado al concepto de número, lo cual ya supone tener adquiridas las nociones lógicas de seriación, clasificación, correspondencia, conservación de la materia y una buena estructuración espacio-temporal. En la medida en que estos aspectos sean deficitarios se van a producir dificultades que tendrán su manifestación en este contenido específico de las matemáticas que son las medidas.

• Indicadores de dificultad:
  • En longitud, masa, peso, volumen, área y perímetro:
    • Cometer errores en la comparación de medidas.
    • Confundir los conceptos de distancia.
    • Confundir el concepto de longitud.
    • Confundir el concepto de área (sólo tiene en cuenta una sola dimensión).
    • No domina el principio de conservación de la sustancia.
  • Tiempo:
    • Invierte el orden temporal de los acontecimientos.
    • Desconocimiento de la noción de intervalo entre dos sucesos.
    • Dificultades en la lectura de la hora en el reloj.
  • Dinero:
    • No se reconocen las monedas.
    • No se sabe cuáles son las equivalencias.
    • No se resuelven situaciones prácticas.
• Situaciones o reactivos:
  • Ante una ilustración señalar el objeto más cercano o más lejano. Hacer variaciones sobre los objetos.
  •  Comparar tamaños, longitudes y decir cuáles son más grandes, más lejanos, más largos, más cortos, etc.
  • Asociar a figuras geométricas sus figuras equivalentes.
  • Ordenar historietas.

Lenguaje matemático

La comprensión que el niño tenga de lo que representan los símbolos puede influir en su forma de transformar los problemas que le son propuestos en expresiones simbólicas.

• Indicadores de dificultad:
  • Errores en la lectura y comprensión de palabras:
    • Al leer comete errores de sustitución fonética (décima de decena).
    • Falta de comprensión de palabras con significado eminentemente matemático: sustracción, perímetro, multiplicación….
    • Confusión en las palabras que tiene una significación diferente en el lenguaje ordinario: diferencia, producto, cuenta, figura….
    • Ausencia de dominio de conceptos básicos generales (no expresar cual es su significado): más que, menos que, algunos… en textos de resolución de problemas.
    • Incomprensión cuando los enunciados de los textos en problemas son extensos. No se transforma la palabra escrita a la representación simbólica (operaciones matemáticas).
    • Errores en la lectura de signos: -, <, >…
  • Situaciones o reactivos:
    • Leer cantidades numéricas y detectar dificultades lectoras o articulatorias.
    • Lectura de textos de problemas.
    • Explicar con sus propias palabras lo que pide el problema.
    • Analizar las operaciones de cálculo y comprobar errores de concepto (sumar en lugar de restar).
    • Asociar cada signo con su significado.

Otros aspectos que deben evaluarse que inciden en el aprendizaje de las matemáticas son:

• ACTITUDES COGNITIVAS. Los indicadores de dificultad que deben tenerse en cuenta son:
  • Escasa dedicación o esfuerzo hacia las tareas matemáticas.
  • Escaso interés.
  • Dificultades en la concentración y la persistencia en las tareas.
  • Escasa motivación en la tarea.
  • Escasa flexibilidad para cambiar de punto de vista en el enfoque de una situación.
• ATENCIÓN. Los indicadores de dificultad que deben tener en cuenta son:
  • Pérdida de atención transitoria y no retomar de nuevo el cálculo mental iniciado anteriormente:
    • Pérdida de atención transitoria y no retomar de nuevo el cálculo mental iniciado anteriormente.
    • Errores en operaciones de cálculo muy sencillas.
    • Distracciones.
    • Fatiga al intentar concentrarse.
    • Impulsividad.
    • Perseveración (Dificultad de pasar de un tipo de operación a otra, por ejemplo de sumar a restar).
    • Hipoactividad.
• MEMORIA. Indicadres de dificultad:
  • No memoriza las tablas de multiplicar.
  • No almacena la información matemática (los contenidos conceptuales).
  • Recuerda solamente aspectos parciales de los procedimientos resolutorios.
• PERSONALIDAD Y COMPORTAMIENTO. Como complemento a la evaluación pedagógica, para determinar la existencia de dificultades afectivas o alteraciones conductuales que impidan mantener la atención necesaria para el trabajo escolar. Asímismo, la valoración de la autoestima se considera de gran interés. Valorar las atribuciones que tiene el alumno con respecto a lo que siente cuando fracasa en las tareas matemáticas.
• EL ESTILO DE APRENDIZAJE. Conocer cómo aprende el alumno es de gran importancia, ya que nos permite identificar su reflexivilidad versus impulsividad, su ritmo de trabajo, sus estrategias de aprendizaje (memorización, razonamiento…).
• DISPEDAGOGÍAS. Debe realizarse una reflexión didáctica acerca de si lo que estamos enseñando y cómo se está haciendo responde a las necesidades educativas de los alumnos con dificultades para el aprendizaje de las matemáticas.
• ASPECTOS SOCIOFAMILIARES. Es aconsejable la evaluación del grado de colaboración familiar, la actitud de la familia con respecto a las dificultades del hijo.

Causas de las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas

Inicialmente, el concepto de discalculia se ha referido a las dificultades en el cálculo, siendo éste, pues, un concepto restringido al ámbito de las habilidades de calcular. Más recientemente se ha generalizado el término haciendo referencia a todos los contenidos del área de Matemáticas, ya que se ha observado la aparición de dificultades en todos ellos (conceptos básicos, numeración, cálculo, resolución de problemas, geometría, medidas, etc.).

Como causas de estas dificultades se han señalado muchas. De acuerdo con cada enfoque científico se ha dado mayor énfasis a unas u a otros. Así, por ejemplo, diferentes autores han señalado como causas tan dispares de la discalculia las siguientes:

• Lesiones cerebrales.
• Alteraciones neurológicas.
• Aparición tardía del lenguaje.
• Estados hiperemotivos.
• Aspectos genéticos.
• Fallos en la maduración neurológica, inmadurez o problemas en lectoescritura.
• Factores de maduración: sensopercepción, atención, memoria, imaginación, psicomotricidad, lateralidad, ritmo…
• Alteraciones en el desarrollo intelectual: razonamiento lógico-abstracto.
• Deficiencias de las habilidades verbales.
• Alteraciones de la psicomotricidad.
• Falta de conciencia de los pasos a seguir.
• Fallos estratégicos.
• Dificultades en el pensamiento abstracto.
• Falta de motivación.
• Perturbaciones emocionales.
• Problemas socioambientales.
• Absentismo escolar.
• Trastornos de conducta (conducta impulsiva).
• Lentitud en la respuesta.
• Problemas de memoria para automatizar las combinaciones numéricas básicas.
• Utilización de un lenguaje inadecuado para el niño. Enseñanza poco eficaz por secuenciación rápida (dispedagogías).
• Escasez de conocimientos previos.
• Falta de automatización de los procedimientos simples de cálculo.

La perspectiva neuropsicológica postula que las dificultades en el aprendizaje del cálculo son la consecuencia de la alteración en los siguientes «instrumentos» neuropsicológicos:

• VERBALES: el número como signo lingüísticos:
  • Afasias sensoriales: alteraciones acústico-gnósicas por lesiones temporales izquierdas.
  • Afasias motoras: alteraciones de lenguaje interno por lesiones frontal izquierdas.
• VISOESPACIALES: lesiones parietales.
  • Alteraciones de la imaginería numérica.
  • Alteracines del reconocimiento espacial del número (dislexia).
• PRÁXICOS: lesiones temporoparietales.
  • Alteraciones de los gestos motrices (disgrafías).
• CONCEPTIALES: lesiones temporooccipitoparietales.
  • Pérdida del concepto de número.
• PLANIFICACIÓN:
  • Lesiones del área frontal izquierda: dificultad para planificar la resolución de problemas numéricos.
  • Lesiones del área frontales derechas: dificultad para planificar la resolución de problemáticas espaciales.

En personas adultas que padecieron lesiones en algunos de estos instrumentos se produce la discalculia adquierida y, en el caso de los niños las dificultades matemáticas, vienen a mostrar que etas funciones neuropsicológicas implicadas en los procesos de cálculo no están adecuadamente desarrolladas (discalculia evolutiva).

Por otra parte, y en este mismo modelo neuropsicológico, se ha postulado que las funciones matemáticas que implican tareas como las de encolumnamiento de los número, su valor posicional y otros conceptos espaciales se encuentran localizados primariamente en el hemisferio cerebral derecho, mientras que las funciones fundamentadas en el lenguaje que exigen habilidades de leer, escribir y  verbalizar números se encuentran ubicadas en el hemisferio cerebral izquierdo.

El enfoque cognitivo postula que, en el caso de las discalculias adquiridas indudablemente las causas son alteraciones neurológicas. En el resto de casos también se proponen explicaciones de corte neurológico en forma de desorden estructural congénito de las zonas cerebrales referidas a las habilidades matemáticas, principalmente localizadas en el hemisferio derecho.

El análisis de las deficiencias mediante la teoría del procesamiento de la información muestra que los niños con dificultades para el aprendizaje de las matemáticas presentan un déficit específico en la memoria de trabajo, en relación con el procesamiento de la información numérica. Ello puede ser un reflejo de otros problemas visoespaciales.

A continuación se muestra las regiones cerebrales y sus capacidades matemáticas:

• Hemisferio derecho: organización visuo-espacial.
• Hemisferio dominante del lenguaje: habilidades lingüísticas.
• Áreas de asociación del hemisferio dominante: lectura y comprensión de problemas verbales, la comprensión de conceptos y procedimientos matemáticos.
• Lóbulos frontales: cálculos mentales rápidos, conceptualización abstracta, habilidades de solución de problemas, ejeecución oral y escrita.
• Lóbulos parietales: funciones motóricas, uso de las sensaciones táctiles.
• Lóbulo parietal izquierdo: habilidades de secuenciación.
• Lobulos occipitales: discriminación visual de símbolos matemáticos escritos.
• Lóbulos temporales: percepción auditiva, hechos matemáticos básicos, subvocalización durante la solución de problemas.
• Lóbulo temporal dominante: memoria se series, hechos matemáticos básicos, subvocalización durante la solución de problemas.

 

Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas

Las dificultades en las matemáticas se basan frecuentemente en conceptos muy discutidos y de dudosa consistencia. Un ejemplo es el concepto tradicional de discalculia, aplicado con reiteración en la literatura especializada. Con este término, muchos profesionales se refieren a los niños que presentan un trastorno estructural de dificultades para las matemáticas.

Dado que no existe una definición clara, operativa y rigurosa, utilizaremos el término de Dificultades en el Aprendizaje de as Matemáticas (DAM) para referirnos a aquellos alumnos que no llegan al dominio de ciertas formas de pensamiento matemático, o que encuentran grandes dificultades para alcanzar los objetivos establecidos en el currículo escolar.

Los alumnos que presentan dificultades de aprendizaje en esta materia es un grupo bastante amplio. Con frecuencia los maestros suelen escuchar frases desalentadoras como: «yo no sirvo para las matemáticas» o «¡vaya!… otra vez tenemos matemáticas». Evidentemente, establecer una taxonomía precisa para esta diversidad de alumnos no es fácil ,y mucho menos lo es determinar la posible etiología de su dificultad. No obstante, aun considerando que las dificultades son muy variadas y que están relacionadas con multitud de factores, las más importantes son:

• No establecer a asociación número-objetos.
• No comprender que un sistema de numeración está formado por grupos iguales de unidades que dan lugar a unidades de orden superior.
• No descubrir la relación de los números en una serie.
• Mostrar alteraciones en la escritura de los números (omisiones, confusiones, reiteraciones, números en espejo o invertidos, etc.).
• Manifestar dificultades en la estructura espacial de las operaciones o en la comprensión de las acciones correctas que debe realizar.
• Confundir los signos.
• No conocer las operaciones necesarias para resolver un problema.
• No considerar todos los datos de un problema u operar con ellos sin tener en cuenta el resultado, etc.

Dificultades en áreas específicias

identificar las DAM en las primeras etapas de la escolaridad es uno de los aspectos que más destacan los diferentes autores. Esto se debe a que el aprendizaje de las matemáticas pasa por u largo proceso de desarrollo en el que las dificultades iniciales pueden llegar a ser mayores. Se identifican ocho áreas de dificultad en el aprendizaje de las matemáticas:

1. NUMERACIÓN. El conocimiento y memorización de los números no suele entrañar dificultad (excepto para números grandes), pero sí algunos otros aspectos, tales como la asociación número-objetos y la concepción del número como la unión de las operaciones de clasificar y seriar; los fundamentos del sistema decimal; la escritura de los números, debido a problemas espaciales o de lateralidad, o a la comprensión del valor posicional de las cifras; y el establecimiento de la clave para seguir una seriación, especialmente si es descendente. Hay abundantes estudios sobre las estrategias empleadas y los errores cometidos por los niños durante la adquisición de la habilidad de contar.
2. CÁLCULO. La comprensión y la mecánica de las cuatro operaciones básicas es la principal dificultad en el aprendizaje de las matemáticas. Los niños con déficits cognitivos y afectivos manifiestan distintos tipos de dificultades en este ámbito. Así, los niños con discapacidad intelectual suelen mostrar dificultades a la hora de dar significado a las operaciones y, en consecuencia, no las aplican a la resolución de problemas; necesitan mayor y mas prolongado apoyo manipulativo ara el aprendizaje de la suma y la resta, les resulta complicado llevarse unidades, no memorizan las tablas de multiplica y no entienden bien el valor del «0» dentro de un número. Los niños con problemas grafomotrices y perceptivos manifiestan escritura de número en espejo, comienzan las sumas y restar por la izquierda, restan a veces el número superior del inferior y no colocan los números adecuadamente alineados para sumar, restar o multiplicar. Los niños con alteraciones de atención suelen equivocarse al calcular, ponen cualquier número o no terminan las operaciones. Los niños con dificultades de memoria no dominan los automatismos del cálculo ni recuerdan las tablas de multiplicar.
3. ÁLGEBRA. Con frecuencia, los alumnos no comprenden que las letras simbolizan números, y que pueden tener un único valor (como en x + 5 = 9) o infinitos valores (como en x + y = 0); tienden a sustituir expresiones aditivas (3 + x) por multiplicaciones (3x); no respetan ni comprenden el significado de los paréntesis. Los errores más frecuentes cometidos por alumnos de Secundaria son: a) interpretación incorrecta de la jerarquía operatoria; b) mala utilización de las reglas para quitar paréntesis; c) operaciones incorrectas con los números negativos; d) interferencia de reglas en las operaciones con potencias y raíces; e) preponderancia del número sobre la letra al operar; f) incorrecta interpretación algebraica del enunciado de un problema; g) desprecio de datos, etc. Para que estos errores son achacables a factores tales como: memorización de reglas que se utilizan erróneamente por analogía con otras reglas conocidas; generalización abusiva de reglas; uso del signo igual como una acción en ambos sentidos; omisión de algunas condiciones; necesidad de reducir las situaciones a términos más simples; traducción literal de enunciados, etc.
4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Por lo que respecta a la resolución de problemas, se observa que los niños con trastorno del lenguaje tienen particulares dificultades para comprender el texto, y los niños con desorientación espacio-temporal, falta de estructuración mental o atención inestable no ordenan bien las partes del problema.
5. GEOMETRÍA. La geometría presenta dificultades para muchos alumnos debido a la aridez y abstracción de algunas nociones (línea, plano…) y a la dificultad terminológica (pentágono, polígono…). En ocasiones, muchas de las ideas equivocadas que los niños se forman sobre el espacio se deben a una enseñanza inadecuada, que centra su atención sobre conceptos erróneos; por ejemplo, llegan a creer que si una forma geométrica cambia de posición, también cambia su forma o su tamaño. Igualmente, aprender el concepto de área en el contexto de medida, ligado a fórmulas, antes de poder experimentarlo prácticamente, les induce a confundirlo con perímetro o a calcularla midiendo un solo lado de la figura.
6. GRÁFICAS Muchos alumnos identifican una gráfica con el dibujo de una situación; no entienden que as gráficas muestran una relación entre dos variables; confunden los intervalos con puntos particulares; o se centran en uno o dos factores y excluyen el resto al construir una gráfica.
7. FRACCIONES. El concepto de fracción es difícil de comprender. Las mayores dificultades se encuentran cuando tienen que sumar o restar la fracción con un número entero. Consideran que numerador y denominador son elementos independientes, por lo que operan con ellos aisladamente; no interpretan adecuadamente el valor del 0 en la fracción.
8. LENGUAJE MATEMÁTICO En último lugar, el niño debe aprender a expresarse con un lenguaje específico y preciso, más complicado que su lenguaje natural, y acostumbrarse a la abstracción de los signos, símbolos y fórmulas utilizados. El primer problema tiene que ver con la cantidad de vocabulario teórico novedoso que los alumnos deben asimilar; el segundo, con el distinto significado que estos términos poseen a veces respecto de su uso habitual; el tercero, con la legibilidad del texto, relacionada no sólo con el léxico y la sintaxis, sino también con el uso de diagramas, tablas, gráficos, etc., y el cuarto, con los símbolos matemáticos que aparecen.

Dificultades en la resolución de problemas

Para resolver un problema debemos contar con una serie de habilidades que tienen que ver con los componentes y el tipo de conocimiento que posemos sobre la tara. En primer lugar, necesitamos ser capaces de realizar una traducción del problema. Este proceso consiste en transformar cada paso en una representación interna. Y, para ello, se requiere que comprendamos el lenguaje que se utiliza; es decir, necesitamos tener algún conocimiento sobre la lengua (conocimiento lingüístico) y algún conocimiento del mundo (conocimiento semántico).

El segundo paso es la integración del problema. Con frecuencia, la representación precisa de un problema requiere más de una transformación. Así, ante el problema: «Un libro cuesta 6 euros. ¿Cuántos libros podría comprar Alberto con 24 euros)», los alumnos que tienen éxito para resolverlo necesitan poseer conocimientos sobre las categorías de un problema (cambio, combinación, comparación), reconocer la información relevante e irrelevante y determinar qué información es necesaria para la resolución del problema. El conocimiento esquemático ayuda a integrar la información en una representación coherente.

El tercer paso en la resolución de problemas es la planificación y supervisión de la solución. Para resolver un problema hay que establecer un plan y, para ello, lo primero que debemos preguntarnos es «¿conocemos algún problema que sea parecido?». El conocimiento estratégico ayuda para llevar a cabo los cálculos requeridos en el plan. Así, una vez que se encuentra un problema similar, tenemos que ver si se puede utilizar su metodología. Hay tres pasos en este proceso de transformación analógica:

1. Reconocimiento. Se identifica un problema parecido (llamado base) que se puede realizar.
2. Abstracción. Se abstrae el método de solución o principio.
3. Trazado de un plan. Se aplica el método o principio al objetivo.

El último paso es la puesta en práctica de la solución. Una vez que hemos creado un plan para su resolución, el paso fundamental es llevar a cabo ese plan. Para ello hay que realizar los cálculos. El conocimiento procedimental adquirido con la práctica produce una progresión de los procedimientos básicos a procedimientos más sofisticados y automáticos.

Las dificultades en la resolución de problemas derivan de los diferentes tipos de conocimiento implicados en su resolución. Así, en relación con el conocimiento lingüístico, el aprendiz presenta una deficiente comprensión y dificultad para descodificar textos a menudo abstractos o ambiguos. En relación con el conocimiento esquemático, puede representarse deficientemente el problema o verse influido por los modelos intuitivos que mantiene sobre las operaciones. En relación con el conocimiento estratégico, puede no establecer las metas que faciliten la solución, no estar familiarizado con los procedimientos necesarios para resolver el problema o ser incapaz de elaborar un plan, seguirlo y corregirlo cuando sea necesario. Y, en relación con el conocimiento procedimental, puede desconocer el algoritmo de resolución apropiado.

El reconocimiento de las dificultades de lectura en las matemáticas viene de antiguo. En 1921 se señaló la necesidad de que los maestros desarrollaran técnicas especializadas para la lectura de materiales aritméticos. Los escollos asociados a la expresión verbal del problema proceden, en buena parte, de la escasa familiaridad del vocabulario y de la complejidad sintáctica de los enunciados. Una dificultad estriba en transcribir el enunciado verbal a una forma simbólica. Cuando permitimos a los niños recurrir a materiales concretos (como contar con los dedos), incluso los muy pequeños son capaces de solucionar problemas típicos. En realidad, estos niños no disponen de estrategias poderoso de solución de problemas, sino de estrategias sencillas para representarse el problema, en forma gráfica o figurativa, como una parte del alumnado real. Esto hace que resulte arduo enseñar verdaderas técnicas de solución de problemas cuando éstos no son fáciles de representar de modo figurativo.

Algunos autores han encontrado que los alumnos tiene especiales dificultades con los problemas de comparación, en particular cuando el término relacional es inconsistente con la operación aritmética requerida, algo que ocurre, por ejemplo, si contienen el término «más» cuando se exige sustracción: «Alberto tiene 20 canicas; si tiene 8 más que Luis, ¿cuántas canicas tiene Luis?». Esto es lo que se denomina efecto de consistencia. Los errores de los alumnos pueden vincularse a las dificultades para representar las afirmaciones relacionales que presenta el problema y traducirlas en un plan de solución.

Los problemas inconsistentes son difíciles e incluso para los alumnos que los resuelven bien, lo que se manifiesta en que les exige un tiempo de procesamiento adicional. Los alumnos con éxito construyen un modelo mental y derivan a partir de él el plan de solución, mientras que aquellos que fallan hacen una traducción directa y derivan el plan de solución de claves lingüísticas únicamente. La construcción del modelo mental hace que los primeros dediquen más tiempo a leer los problemas inconsistentes que los consistentes, mientras que los alumnos que fracasan dedican el mismo tiempo en la lectura de ambos tipos de problemas.

 

 

Evaluación de la escritura

La evaluación de la escritura debe informar del funcionamiento de los procesos cognitivos que intervienen. En este sentido, el objetivo de la evaluación es determinar qué tipo de problemas presenta el niño en función no tanto de la cantidad de errores que comete, sino del tipo de errores que presenta. Para evaluar los distintos procesos implicados en la escritura, los dos principales instrumentos son los ejercicios de redacción para los procesos superiores y los dictados para la escritura de palabras. Algunas pruebas normalizadas que nos pueden ser útiles como ayuda complementaria son el TALE o la Escala de Escritura de Ajuriaguerra. Una prueba que evalúa todos los procesos desde la planificación hasta los puramente motores es la de Cuetos, Sánchez y Ramos. Para descartar cualquier déficit cognitivo, se puede aplicar una prueba de inteligencia como el WISC-R. El perfil de los disgráficos en la escala de Weschler, presenta mejores puntuaciones en la parte verbal que en a manipulativa.

Para evaluar los procesos implicados en la escritura, a continuación, se presentan diferentes tipos de pruebas no estandarizadas. La ejecución en cada una de las pruebas debe ser registrada para poder analizar el mecanismo alterado en función de la categoría de los errores presentes.

1. Evaluación de las destrezas motoras. Para evaluar los patrones motores de las letras y sus alógrafos así como la coordinación grafomotora, se pueden utilizar las siguientes pruebas:

• Dictado de letras y palabras.
• Copia:
  • Copia de mayúsculas a minúsculas y a la inversa.
  • Copia de script cursiva y a la inversa.
  • Copia en distintos tamaños.
• Escritura espontánea.
• Tareas de dibujo, seguir caminos, punteado, etc., para evaluar la coordinación visomotora.

2. Evaluación de los procesos morfosintácticos. El examen de los trabajos de los alumnos nos puede dar suficiente información sobre el dominio de estos aspectos. Se pueden utilizar tareas específicas como las siguientes:

• Construcción de frases a partir de palabras dadas.
• Ordenar palabras desordenadas en una frase.
• Colocar los signos de puntuación en un texto.
• Completar frases con lagunas.

3. Evaluación de los procesos léxicos. Entre los aspectos a evaluar se encuentran las reglas ortográficas y el funcionamiento de las dos rutas de accesos al léxico. Las pruebas que se pueden realizar son:

• Dictado de palabras de ortografía arbitraria.
• Conocimiento de las reglas de ortografía.
• Dictado de pseudopalabras.
• Dictado de palabras homófonas entre de frases que indiquen su significado.

4. Evaluación de los procesos de planificación. Para determinar el nivel de planificación se pueden realizar ejercicios de composición de complejidad creciente en función del tipo de texto. Las tareas que se pueden realizar son:

• Describir un dibujo o una escena (bajo nivel de planificación).
• Narración de un cuento conocido (nivel medio).
• Comentar una noticia (alta complejidad).

5. Evaluación de los procesos de revisión. Las habilidades de revisión pueden ser realizadas de la siguiente forma:

• Analizando el texto definitivo y el borrador sobre un tema dado.
• Revisión del texto de un compañero, señalando sugerencias para su mejora.
• Detección de incoherencias, redundancias, secuencias incorrectas y lagunas.

A continuación, podéis descargaros un registro para evaluar la lecto-escritura:

Registro de la evaluación de la lecto-escritura

BIBLIOGRAFÍA

Santiuste, V & González-Pérez, J (2010). «Dificultades de aprendizaje e intervención psicopedagógica». Editoria CCS: Madrid

Análisis de los errores discalcúlicos

Los niños que no comprenden plenamente las bases matemáticas de las rutinas del cálculo inventan estrategias de resolución simplificadas que resultan incorrectas. De acuerdo con el modelo cognitivo, son debidas a un conocimiento incompleto de los principios básicos de las matemáticas o a un mal aprendizaje de los mismos.

Los tipos de errores que se cometen son:

• Tomar prestado. No comprenden el valor posicional de los números.
• Sustitución en el proceso. Se sustituye uno o varios pasos del algoritmo por otro inventado pero incorrecto.
• Omisión. Se omite alguno de los pasos del algoritmo. En el ejemplo de una suma de números decimales se presta atención solamente a los decimales y no a los enteros.
• Dirección. Se producen errores en la dirección de los pasos a seguir, aunque los cómputos estén bien hechos.
• Posición. Aunque lo cómputos se hacen correctamente se invierte la posición de los números al escribir el resultado de la operación.
• Signos de las operaciones. Se produce una incorrecta interpretación del signo de la operación o simplemente se ignora. Se dan confusiones entre los signos x y +.
• Adivinación. Cuando los errores no siguen ninguna lógica indican una carencia de la comprensión de las bases de las operaciones.

Otros errores relevantes han sido señalados en otro lugar:

1. En los números:
   1. No se identifica el número, se duda, especialmente en el dictado de los mismos.
   2. Sustitución de unos números por otros (6-9, 7-4, 3-5). Esta sustitución se extiende también a los signos de sumar y de multiplicar. Los números con cierta similitud fonológica también se sustituyen, como es el caso de diez-cien, dos-doce.
   3. Inversión de números. Este error es muy habitual en los niño de cinco y seis años cuando están aprendiendo el trazado gráfico de los números, sin que necesariamente por ello presente especiales dificultades ante las matemáticas.
   4. Errores en la posición de los números cuando se escribe al dictado.
2. En la seriaciones:
   1. Repetición de números en las series.
   2. Omisión de números.
   3. Alteración del orden lógico (razón) de la serie.
3. En las operaciones:
   1. Inicio de las operaciones de la suma de izquierda a derecha, en lugar de hacer de derecha a izquierda.
   2. Emparejamiento erróneo para sumar.
   3. Errores en el encolumnamiento. El alumno no coloca la cifra en su lugar correspondiente

Los errores en las operaciones básicas son:

• Operar sin tener en cuenta la posición.
• Operar de izquierda a derecha.
• Omitir el cero.
• Errores en la llevada.

La tipología de los errores discalcúlicos que se ha realizado es múltiple. Se han realizado diversas taxonomías o clasificaicones que hacen referencia a los síntomas visibles en la ejecución o desempeño matemático. Estas clasificaciones se han realizado de acuerdo con:

a) Modelo teórico explicativo de las dificultades:

Así, por ejemplo, el enfoque conductual pone el énfasis en describir los errores en las habilidades de contar: desempeño viso-motriz, táctil y kinestésico.

El modelo cognitivo enfatiza la descripción del procesamiento de la información o cómo opera el alumno con los algoritmos, qué rutinas procedimentales utiliza y qué tipo de errores se producen.

b) Los diferentes contenidos matemáticos del currículo que en cada momento ha estado vigente en la escuela.

En esta mima línea pueden verse los indicadores de dificultad de las Escalas Abiertas de Evaluación de las Dificultades de Aprendizaje Lógico-Matemático que representan cada uno de los errores que se producen en los diferentes bloques de contenido del currículo de la Educación Primaria.

Estos errores pueden tener un carácter estable o inestable. Aquellos que ocurran con carácter permanentemente necesitarán de una intervención psicopedagógica centrada en la instauración de las habilidades necesarias para un desempeño adecuado. Sin embargo, aquellos errores que sean incidentales o inestables, probablemente estén mediatizados por déficits atencionales, motivacionales, psicofísicos, emocionales o comportamentales.

No obstante, deberían distinguirse entre lo que son errores causados por ideas incorrectas o una comprensión defectuosa de los pasos de un procedimiento de resolución de lo que son errores atribuibles a déficits atencionales. La enseñanza o intervención psicopedagógica deberá ir dirigida a la corrección de cada error concreto.

Ante este aluvión de «síntomas», defectos, dificultades, manifestaciones, errores o protecciones se plantean las siguientes cuestiones:

¿Cuántos errores debe cometer un alumno para que podamos afirmar que, efectivamente, presenta discalculia o dificultades para el aprendizaje de las Matemáticas?

Nuestro parecer es que, más que tildar a un alumno de discalcúlico, debemos expresar única y exclusivamente que el alumno presenta dificultades para aprender… (las habilidades matemáticas que corresponda), sean cuántos fueren el número de errores que cometan.

¿Presentan los alumnos «discalcúlicos» ineludiblemente errores en todos los bloques de contenido matemático?

Con respecto a esta segunda cuestión, es inusual encontrar alumnos en las aulas de Educación Primaria que presenten errores en todos los aspectos matemáticos, aunque, si las causas de las dificultades que se proyectan en el aprendizaje de las Matemáticas son de otra índole distinta a la propia inhabilidad o inadecuación del procedimiento de aprendizaje (como por ejemplo lesión cerebral, trastorno por déficit de atención, etc.), sí se dan proyecciones en todos los contenidos matemáticos, pero no solamente en esta área, sino en el resto de áreas curriculares.

 

Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas: la discalculia

El aprendizaje de las matemáticas se ha considerado clásicamente como un aprendizaje «instrumental» básico y fundamental junto con la lectoescritura, ya que están implicados procesos perceptivos, lingüísticos, de razonamiento, mnésicos, presentativos y simbólicos. Se la ha considerado así porque ambas materias son las que le ofrecen al alumno las habilidades (numéricas y lingüísticas) necesarias para codifica y decodificar los símbolos gráficos, y le permiten construir los fundamentos sobre los que se basa el aprendizaje del resto de las áreas del currículo.

En el campo concreto de las matemáticas, están presentes en la vida cotidiana de los alumnos, las situciones en las que es necesario la resolución de problemas como las relativas al presupuesto familiar, la compra de alimentos para la familia, los horarios, las competiciones deportivas y otros eventos sociales en los que son habituales los conceptos de número, medida del tiempo, cálculo de operaciones, entre otros contenidos matemáticos.

Por otra parte, el aprendizaje de las matemáticas en la escuela ha resultado arduo y plagado de dificultades para muchos alumnos, produciéndose cierta animadversión o rechazo hacia la materia y, como consecuencia un elevado fracaso escolar en esta área del currículo, tanto en la Educación Primaria como en la Educación Secundaria Obligatoria. La prevalencia del fracaso ha sido tal, que tópicamente se ha creado una opinión generalizada en torno a la dificultad intrínseca de los contenidos matemáticos, y a la también tópica expresión de «es que yo no sirvo para las matemáticas», como una manifestación autodevaluativa de las capacidades personales en este desempeño curricular, cuando en realidad las causas del fracaso matemático pudieran encontrarse en una carencia de habilidades algorítmicas, heurísticas, procedimentales… que nunca hayan podido ser enseñadas/aprendidas adecuadamente, más que la propia limitación intelectual para ello.

La realidad de las aulas pone en evidencia que existe un grupo de alumnos que no aprende las matemáticas o comete errores importantes, que producen alarma curricular, a pesar del esfuerzo docente por que ello no ocurra, y a pesar de las medidas para el tratamiento de la diversidad que el profesor pone en práctica.

No obstante, en los últimos años se está produciendo un renovado interés en la comunidad educativa por abordar los problemas de aprendizaje de las matemáticas. Así, por ejemplo, se están conociendo cuáles son las demandas cognitivas para el procesamiento de la información que la actividad matemática exige para su exitosa resolución. A su vez, las estrategias de aprendizaje de los alumnos, en la medida en que éstos puedan verbalizarlas o el profesor pueda observarlas y/o inferirlas, están contribuyendo a adoptar respuestas educativas más ajustadas a las necesidades de aprendizaje de los alumnos.

Conceptualización y definiciones

Con respecto al término discalculia existe cierta maraña lingüística. Etimológicamente discalculia significa alteración de la capacidad de cálculo. La DSM-IV la define como «Dificultades de aprendizaje específicas de las matemáticas sin otros problemas asociados». El modelo cognitivo la define como dificultades significativas en el desarrollo de las habilidades relacionadas con las matemáticas.

Caracterizan estas dificultades las siguientes notas:

• No debe asociarse con el retraso mental.
• No guarda ninguna relación con deficiencias en la escolarización.
• No guarda relación con los déficits visuales o auditivos.

Son numeras las definiciones que sobre el término discalculia existen:

• «Un trastorno parcial de la capacidad de manejar símbolos aritméticos y hacer cálculos matemáticos» (Miranda, 1988).
• «En el niño, la discalculia existe como entidad, a la manera de las acalculias halladas en el adulto. Atañe a la función de cálculo en su conjunto, es decir, tanto a la noción de número como a la ordenación y seriación del mismo» (Hasaerts van Geertruyden).
• «Dificultades aisladas para realizar operaciones aritméticas simples o complejas y un deterioro de la orientación en la secuencia de números y sus fracciones» (Gerstmann, 1959).

Incidencia

La incidencia de la discalcuia es variable, en función de las diferentes poblaciones, aunque, según la DSM-IV se estima que un 1% tiene problemas de cálculo que se evidencian en 2º y 3º curso de Educación Primaria.

Más del 6% de la población en edad escolar presentan dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. Por otra parte, el 66,5% de los alumnos atendidos en el aula de apoyo en la Educación Secundaria lo son por este tipo de dificultades.

El modelo cognitivo

El modelo cognitivo no conceptualiza el término discalculia como tal, sino que realiza un análisis de los procesos mentales intervienientes en el cálculo. Son procesos cognitivos que subyacen a la ejecución matemática, o expresado de otro modo, son las demandas cognitivas que implica y las estrategias (formas de procesar información) que usan los niños para responder a ellas. En el caso de los niños con DA en aritmética presentan un menos nivel de estructuración cognitiva, y un retraso en desarrollar ciertas operaciones concretas.

El modelo cognitivo se estructura en tres sistemas o módulos funcionalmente distintos:

Sistema de comprensión del número

Son los mecanismos para convertir diferentes formas superficiales de un número en un formato abstracto común: 2, II, dos…

Sistema de comprensión del cálculo

Son los mecanismos requeridos específicamente para realizar las operaciones aritméticas. Incluye:

• Las representaciones conceptuales.
• El recuerdo de las combinaciones aritméticas básicas y sus correspondientes reglas.
• Los algoritmos o procedimientos/rutinas para operar.

Sistema de producción del número

Recibe el output o resultante del procesamiento de los sistemas anteriores. Estos módulos se entienden como mecanismos mentales que infieren las rutinas de pensamiento que se realizan cuando se calcula con los números.

El modelo cognitivo atribuye las causas de las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas a alteraciones neurológicas cuando se trata de las discalculias adquiridas (recuérdese la clasificación de las dislexias y las disgrafías en este modelo). En general, se producen fallos en:

• La memoria.
• La atención.
• La actividad preceptivo-motora.
• Las habilidades verbales.
• Fallos estratégicos.
• Falta de conciencia de los pasos a seguir.
• Falta de mostagdgdsdgtivación.
• Dificultades en la lectura y en escritura.
• Lentitud de respuestas.

El modelo neuropsicológico

Inicialmente el término discalculia procede del ámbito neurológico como consecuencia de las lesiones cerebrales y ha sido hasta fechas recientes una denominación no exenta de tintes médicos, alejados de un enfoque pedagógico de la dificultad matemática.

Realicemos una clarificación de términos preliminar.

Acalculia

Es un trastorno relacionado con la aritmética, adquirido tras una lesión cerebral, habida cuenta de que las habilidades matemáticas ya existían con anterioridad a dicha lesión. Se subdivide en:

• Primaria o verdadera anaritmética: es un trastorno del cálculo puro unido a lesión cerebral, que no tiene relación con alteraciones del lenguaje o del razonamiento, y que se da en un porcentaje pequeño de casos.
• Acalculia secundaria: va asociada a otras alteraciones de base verbal, espacio-temporal o de razonamiento y se pueden subclasificar en dos tipos:
  • Afásica (no lectura de cifras).
  • Alexia/agrafía: no escritura de cifras.

Discalculia

Es un trastorno de tipo evolutivo o de desarrollo de la maduración de las habilidades matemáticas. Se manifiesta con errores en:

• La comprensión del valor de los números.
• El conteo de los números.
• En la compilación y en la solución de problemas verbales.
• Los símbolos numéricos.
• La escasa memoria auditiva.
• La incapacidad para reconocer los signos operativos.

El síndrome de Gerstman

Constituye un término intermedio entre los dos anteriores y se caracteriza por cuatro síntomas principales:

• Desorientación derecha-izquierda.
• Agnosia digital (no pueden contar los números con la mano).
• Agrafía.
• Acalculia (adquirida).

Estos síntomas derivan en una dificultad manifiesta en la realización de tareas matemáticas. Puede darse en adultos con lesión cerebral y en niños que no teniendo tal lesión manifiestan dichos síntomas. Gertsman señaló la existencia de una lesión en la región parietooccipital izquierda.

De acuerdo con el modelo neuropsicológico, se establece incluso, una clasificación más compleja, de acuerdo con los contenidos matemáticos que se ven afectados en su aprendizaje:

• Discalculia verbal: dificultades en la comprensión de los conceptos matemáticos presentados oralmente.
• Discalculia pratognósica: dificultades para comprara, manipular objetos matemáticos, enumerar…
• Discalculia léxica: dificultades para leer símbolos matemáticos y números.
• Discalculia gráfica: dificultades para la escritura de números al dictado o incluso en la copia de los mismos.
• Discalculia ideognóstica: dificultades para hacer operaciones mentales, para entender conceptos matemáticos y sus relaciones.
• Discalculia operacional: dificultades para la ejecución de operaciones matemáticas.